Родился 18 июля 1957 года в Калининграде. В 1979 году с отличием окончил Ленинградский государственный университет по специальности «История», в 1982 — аспирантуру ЛГУ. Доктор политических наук, профессор.
С 1982 года работает в БФУ им. И. Канта (ранее Калининградский государственный университет и Российский государственный университет имени Иммануила Канта) на должностях ассистента, доцента, заведующего Научно-исследовательской лабораторией, заместителя директора по научной работе научно-исследовательского института комплексного исследования региона, директора Центра дополнительного профессионального образования, проректора. С 1998 по 2011 г. являлся ректором РГУ им. И. Канта.
Распоряжением Правительства Российской Федерации с 2011 года был назначен ректором федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Балтийский федеральный университет имени Иммануила Канта».
Указом Президента РФ Владимира Путина № 59 от 15 февраля 2016 года ректор БФУ им.И.Канта Андрей Клемешев награждён медалью ордена «За заслуги перед Отечеством 2 степени».
В сентябре 2016 года избран депутатом Калининградской областной Думы шестого созыва.
До сентября 2016 года являлся членом Общественной палаты Российской Федерации V состава. С 2018 года — Президент БФУ им. И. Канта.
Также является членом правления Российского союза ректоров, председателем Совета ректоров вузов Калининградского региона, членом Президиума Российской ассоциации международных исследований, членом Координационного совета по области образования «Науки об обществе», первым вице-президентом Российской ассоциации политической науки и Членом президиума Российского общества политологов. В 2013 году стал российским сопредседателем группы «Образование и наука» российско-германского форума «Петербургский диалог».
Сфера научных интересов: политология, политическая регионалистика, теория эксклавов.
Имеет 136 научных работ, из них 19 монографий, в том числе «Проблема эксклавности в контексте глобализации», «Российский эксклав: преодоление конфликтогенности «Глобализация, регионализация и проблемы эксклавов».
В 2012 году под редакцией А.П. Клемешева издан сборник научных трудов «Политические элиты в старых и новых демократиях».
Руководит крупными научно-исследовательскими проектами в сфере региональной политики.
В 2006 году присвоено звание «Заслуженный работник высшей школы Российской Федерации».
Является членом правления Российского союза ректоров, членом Президиума Российского общества политологов, первым вице-президентом Российской ассоциации политической науки, членом президиума УМО по классическому университетскому образованию, членом Российского совета по олимпиадам школьников, членом президиума Российской ассоциации международных исследований, председателем совета ректоров вузов Калининградского региона.
В 2016 году вошел в состав членов совета Российского фонда фундаментальных исследований. Избран депутатом Калининградской Областной Думы.